高考数学二轮专题复习数形结合思想.docx

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高考数学二轮专题复习数形结合思想

第2讲　数形结合思想

1．数形结合的数学思想

包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：

一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．

2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则

（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．

（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．

（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．

3．数形结合思想解决的问题常有以下几种

（1）构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围．

（2）构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围．

（3）构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．

（4）构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式．

（5）构建立体几何模型研究代数问题．

（6）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题．

（7）构建方程模型，求根的个数．

（8）研究图形的形状、位置关系、性质等．

4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：

（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域．

（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解.

热点一　利用数形结合思想讨论方程的根

例1

　（2014·山东改编）已知函数f（x）＝|x－2|＋1，g（x）＝kx，若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．

答案　（

，1）

解析　先作出函数f（x）＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g（x）＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g（x）＝kx过A点时斜率为

，故f（x）＝g（x）有两个不相等的实根时，k的范围为（

，1）．

思维升华　用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．

　设函数f（x）＝

若f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2，则关于x的方程f（x）＝x的解的个数为________．

答案　3

解析　由f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2，

解得b＝4，c＝2，∴f（x）＝

作出函数f（x）＝

与y＝x的图象，如图，

由图知交点个数有3个．

热点二　利用数形结合思想解不等式、求参数范围

例2

（1）已知奇函数f（x）的定义域是{x|x≠0，x∈R}，且在（0，＋∞）上单调递增，若f

（1）＝0，则满足x·f（x）<0的x的取值范围是________．

（2）若不等式|x－2a|≥

x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________．

答案　

（1）（－1,0）∪（0,1）　

（2）

解析　

（1）作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x·f（x）<0的x的取值范围是（－1,0）∪（0,1）．

（2）作出y＝|x－2a|和y＝

x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤

.

思维升华　求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答．

（1）设A＝{（x，y）|x2＋（y－1）2＝1}，B＝{（x，y）|x＋y＋m≥0}，则使A⊆B成立的实数m的取值范围是__________．

（2）若不等式

≤k（x＋2）－

的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝________.

答案　

（1）[

－1，＋∞）　

（2）

解析　

（1）

集合A是一个圆x2＋（y－1）2＝1上的点的集合，集合B是一个不等式x＋y＋m≥0表示的平面区域内的点的集合，

要使A⊆B，则应使圆被平面区域所包含（如图），即直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离（在圆的下方），而当直线与圆相切时有

＝1，又m>0，

所以m＝

－1，

故m的取值范围是m≥

－1.

（2）令y1＝

，

y2＝k（x＋2）－

，在同一个坐标系中作出其图象，因

≤k（x＋2）－

的解集为[a，b]且b－a＝2.

结合图象知b＝3，a＝1，即直线与圆的交点坐标为（1,2

）．

又因为点（－2，－

）在直线上，

所以k＝

＝

.

热点三　利用数形结合思想解最值问题

例3

（1）已知P是直线l：

3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________．

（2）已知点P（x，y）的坐标x，y满足

则x2＋y2－6x＋9的取值范围是________．

答案　

（1）2

（2）[2,16]

解析　

（1）从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRt△PAC＝

PA·AC＝

PA越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，

此时PC＝

＝3，

从而PA＝

＝2

.

所以（S四边形PACB）min＝2×

×PA×AC＝2

.

（2）画出可行域如图，所求的x2＋y2－6x＋9＝（x－3）2＋y2是点Q（3,0）到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线x－y－1＝0（x≥0）的距离d的平方，最大值为QA2＝16.

∵d2＝（

）2＝（

）2＝2.

∴取值范围是[2,16]．

思维升华　

（1）在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值．

（2）如果（不）等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．

（1）（2013·重庆改编）设P是圆（x－3）2＋（y＋1）2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则PQ的最小值为________．

（2）若实数x、y满足

则

的最小值是______．

答案　

（1）4　

（2）2

解析　

（1）由题意，知圆的圆心坐标为（3，－1），圆的半径长为2，PQ的最小值为圆心到直线x＝－3的距离减去圆的半径长，所以PQmin＝3－（－3）－2＝4.

（2）可行域如图所示．

又

的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k.

由图知，过点A的直线OA的斜率最小．

联立

得A（1,2），

所以kOA＝

＝2.所以

的最小值为2.

1．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的．

2．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的．

3．利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象．

4．数形结合思想常用模型：

一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式（或向量的模、复数的模）；点到直线的距离公式等.

真题感悟

1．（2013·重庆改编）已知圆C1：

（x－2）2＋（y－3）2＝1，圆C2：

（x－3）2＋（y－4）2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则PM＋PN的最小值为______________．

答案　5

－4

解析　设P（x,0），设C1（2,3）关于x轴的对称点为C1′（2，－3），那么PC1＋PC2＝PC1′＋PC2≥C1′C2＝

＝5

.

而PM＋PN＝PC1＋PC2－4≥5

－4.

2．（2014·江西改编）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为________．

答案　

π

解析　∵∠AOB＝90°，∴点O在圆C上．

设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，

则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，

∴点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，

∴当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为OD.

又OD＝

＝

，

∴圆C的最小半径为

，

∴圆C面积的最小值为π（

）2＝

π.

3．（2013·课标全国Ⅰ改编）已知函数f（x）＝

若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是________．

答案　[－2,0]

解析　函数y＝|f（x）|的图象如图．

①当a＝0时，|f（x）|≥ax显然成立．

②当a>0时，只需在x>0时，

ln（x＋1）≥ax成立．

比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度．

显然不存在a>0使ln（x＋1）≥ax在x>0上恒成立．

③当a<0时，只需在x<0时，x2－2x≥ax成立．

即a≥x－2成立，所以a≥－2.

综上所述：

－2≤a≤0.

4．（2014·天津）已知函数f（x）＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f（x）－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．

答案　（0,1）∪（9，＋∞）

解析　设y1＝f（x）＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，

在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示．

由图可知f（x）－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点，当4个交点横坐标都小于1时，

有两组不同解x1,x2．

消去y得x2＋（3－a）x＋a＝0，

故Δ＝a2－10a＋9>0，

且x1+x2=a－3<2，x1x2=a<1，

联立可得0

当4个交点横坐标有两个小于1，两个大于1时，

有两组不同解x3,x4．

消去y得x2＋（3－a）x＋a=0，

故Δ＝a2－10a＋9>0，

且x3＋x4=a－3>2，x3x4=a>1，

联立可得a>9，

综上知，09.

押题精练

1．方程|x2－2x|＝a2＋1（a>0）的解的个数是________．

答案　2

解析　（数形结合法）

∵a>0，∴a2＋1>1.

而y＝|x2－2x|的图象如图，

∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．

2．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．

答案　（－∞，－1]∪[4，＋∞）

解析　f（x）＝|x＋3|－|x－1|＝

画出函数f（x）的图象，如图，可以看出函数f（x）的最大值为4，故只要a2－3a≥4即可，解得a≤－1或a≥4.

3．经过P（0，－1）作直线l，若直线l与连结A（1，－2），B（2,1）的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.

答案　[－1,1]　[0，

]∪[

，π）

解析　如图所示，结合图形：

为使l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB>0，kPA<0，故k<0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k>0时，α为锐角．

又kPA＝

＝－1，

kPB＝

＝1，∴－1≤k≤1.

又当0≤k≤1时，0≤α≤

；

当－1≤k<0时，

≤α<π.

故倾斜角α的取值范围为α∈[0，

]∪[

，π）．

4．（2013·山东）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组

所表示的区域上一动点，则OM的最小值是________．

答案　

解析　由题意知原点O到直线x＋y－2＝0的距离为OM的最小值．

所以OM的最小值为

＝

.

5．（2013·江西）过点（

，0）引直线l与曲线y＝

相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为________．

答案　－

解析　∵S△AOB＝

OA·OB·sin∠AOB

＝

sin∠AOB≤

.

当∠AOB＝

时，S△AOB面积最大．

此时O到AB的距离d＝

.

设AB方程为y＝k（x－

）（k<0），即kx－y－

k＝0.

由d＝

＝

得k＝－

.

6．设函数f（x）＝ax3－3ax，g（x）＝bx2－lnx（a，b∈R），已知它们在x＝1处的切线互相平行．

（1）求b的值；

（2）若函数F（x）＝

且方程F（x）＝a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围．

解　函数g（x）＝bx2－lnx的定义域为（0，＋∞），

（1）f′（x）＝3ax2－3a⇒f′

（1）＝0，

g′（x）＝2bx－

⇒g′

（1）＝2b－1，

依题意得2b－1＝0，所以b＝

.

（2）x∈（0,1）时，g′（x）＝x－

<0，即g（x）在（0,1）上单调递减，

x∈（1，＋∞）时，g′（x）＝x－

>0，即g（x）在（1，＋∞）上单调递增，

所以当x＝1时，g（x）取得极小值g

（1）＝

；

当a＝0时，方程F（x）＝a2不可能有四个解；

当a<0，x∈（－∞，－1）时，f′（x）<0，即f（x）在（－∞，－1）上单调递减，

x∈（－1,0）时，f′（x）>0，即f（x）在（－1,0）上单调递增，

所以当x＝－1时，f（x）取得极小值f（－1）＝2a，

又f（0）＝0，所以F（x）的图象如图

（1）所示，

从图象可以看出F（x）＝a2不可能有四个解．

当a>0，x∈（－∞，－1）时，f′（x）>0，

即f（x）在（－∞，－1）上单调递增，

x∈（－1,0）时，f′（x）<0，即f（x）在（－1,0）上单调递减，

所以当x＝－1时，f（x）取得极大值f（－1）＝2a.

又f（0）＝0，所以F（x）的图象如图

（2）所示，

从图

（2）看出，若方程F（x）＝a2有四个解，则

所以，实数a的取值范围是

.